【題目】已知函數
.
（1）判斷
的單調性并寫出證明過程；
（2）當
時，關于x的方程
在區間
上有唯一實數解，求a的取值范圍.
【答案】（1）
在R上遞增，證明見解析；（2）
或
.
【解析】
（1）先判斷函數的奇偶性，再根據函數單調性的定義，作差比較大小即可求證明；
（2）根據（1）中所求單調性，將問題轉化為
的零點問題，利用
之間的關系進行換元，轉化為二次函數零點的分布問題即可求得.
（1）在R上遞增.
證明：
，
恒成立，
的定義域為R.
令
，
，
是奇函數.
令
，
，
，
在
上遞增，又
是R上連續不斷的奇函數，
在R上遞增.
（2）由（1）得
且在R上遞增.
整理得
，在
上有唯一實數解
構造，，
.
令
，則
，
，
在
內有且只有一個零點，
無零點.
又
，
在
上為增函數.
ⅰ）若
在內有且只有一個零點，無零點.
則
ⅱ）若
為的零點，無零點，
則
，
又，經檢驗符合題意.
綜上所述：
或.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】共享單車給市民出行帶來了諸多便利，某公司購買了一批單車投放到某地給市民使用，
據市場分析，每輛單車的營運累計利潤y（單位：元）與營運天數x
滿足函數關系
式
.
（1）要使營運累計利潤高于800元，求營運天數的取值范圍；
（2）每輛單車營運多少天時，才能使每天的平均營運利潤
的值最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且
（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC, 
,且四棱錐P-ABCD的體積為
，求該四棱錐的側面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
， (
為參數， 
為傾斜角).以坐標原點為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的直角坐標方程為
.
（Ⅰ）將曲線
的直角坐標方程化為極坐標方程；
（Ⅱ）設點
的直角坐標為
，直線
與曲線
的交點為
、
，求
的取值范圍.
【答案】（I）
；（II）
.
【解析】試題分析：（Ⅰ）將由
代入
，化簡即可得到曲線
的極坐標方程；（Ⅱ）將
的參數方程
代入
，得
，根據直線參數方程的幾何意義，利用韋達定理結合輔助角公式，由三角函數的有界性可得結果.
試題解析：（Ⅰ）由
及
，得
，即
所以曲線
的極坐標方程為
（II）將
的參數方程
代入
，得
∴
, 所以
，又
，
所以
，且
,
所以
,
由
，得
，所以
.
故
的取值范圍是
.
【題型】解答題
【結束】
23
【題目】已知
、
、
均為正實數.
（Ⅰ）若
，求證： 
（Ⅱ）若
，求證： 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知離心率為
的橢圓
焦點在
軸上，且橢圓
個頂點構成的四邊形面積為
，過點
的直線
與橢圓
相交于不同的兩點
、
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設
為橢圓上一點，且
（
為坐標原點）.求當
時，實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城鎮社區為了豐富轄區內廣大居民的業余文化生活，創建了社區“文化丹青”大型活動場所，配備了各種文化娛樂活動所需要的設施，讓廣大居民健康生活、積極向上．社區最近四年內在“文化丹青”上的投資金額統計數據如表：（為了便于計算，把2015年簡記為5，其余以此類推）
年份 | 5 | 6 | 7 | 8 |
投資金額 | 15 | 17 | 21 | 27 |
（1）利用所給數據，求出投資金額
與年份
之間的回歸直線方程
；
（2）預測該社區在2019年在“文化丹青”上的投資金額．
（附：對于一組數據
， 
，…， 
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
， 
．）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了展示中華漢字的無窮魅力，傳遞傳統文化，提高學習熱情，某校開展《中國漢字聽寫大會》的活動．為響應學校號召，2（9）班組建了興趣班，根據甲、乙兩人近期8次成績畫出莖葉圖，如圖所示（把頻率當作概率）．
（1）求甲、乙兩人成績的平均數和中位數；
（2）現要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽，從統計學的角度，你認為派哪位學生參加比較合適？
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