Question

給定兩個命題，P：對任意實數x都有ax²+ax+1＞0恒成立；Q：關于x的方程x²-x+a=0有實數根；如果P與Q中有且僅有一個為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先對兩個命題進行化簡，轉化出等價條件，根據P與Q中有且僅有一個為真命題，兩命題一真一假，由此條件求實數a的取值范圍即可．

解答：解：對任意實數x都有ax²+ax+1＞0恒成立?a=0或

a＞0 △＜0

?0≤a＜4；
關于x的方程x²-x+a=0有實數根?1-4a≥0?a≤

1

4

；
如果P正確，且Q不正確，有0≤a＜4，且a＞

1

4

∴

1

4

＜a＜4；
如果Q正確，且P不正確，有a＜0或a≥4，且a≤

1

4

∴a＜0．
所以實數a的取值范圍為(-∞，0)∪(

1

4

，4)．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，求解本題的關鍵是得出兩命題為真命題的等價條件，本題尋找P的等價條件時容易忘記驗證二次項系數為0面錯，解題時要注意特殊情況的驗證．是中檔題．