Question

已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=

3

2

，若橢圓與直線x+y+1=0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求橢圓的方程．

Answer 1

分析：先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率的范圍求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而表示出b和a的關(guān)系，代入橢圓方程，根據(jù)OP⊥OQ判斷出x₁x₂+y₁y₂=0，直線與橢圓方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)表示出x₁x₂和y₁y₂，根據(jù)x₁x₂+y₁y₂=0求得b的值．進(jìn)而橢圓的方程可得．

解答：解：由e=

3

2

得a=2b
設(shè)橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1
由于橢圓與直線x+y+1=0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
若設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁x₂+y₁y₂=0        ①
由

x2 4b2 + y2 b2 =1 x+y+1=0

得

x1x2= 4-4b2 5 y1y2= 1-4b2 5

代入①式解得b2=

5

8

，a2=4b2=

5

2

∴橢圓的方程為：

x2

5 2

+

y2

5 8

=1，即

2x2

5

+

8y2

5

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．直線與圓錐曲線的關(guān)系，以及平面向量的幾何由意義．考查了基本知識(shí)的識(shí)記和基本的運(yùn)算能力．