Question

在正三棱錐P－ABC中，三條側棱兩兩互相垂直，G是△PBA的重心，E，F分別是BC，PB上的點，且．(1)求證：平面GEF⊥平面PBC；(2)求證：GE是PG，BC的公垂線．

Answer 1

答案：
解析：

證 　　(1)∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC．連BG并延長交PA于M．∵G是△PBA的重心，∴∴，故GF∥PA．因此GF⊥平面PBC，∴平面GFE⊥平面PBC． 　　(2)取EC的中點D，連FD，∵，∴FD∥PC，由PC＝PB可得FD＝FB，E是BD的中點，∴EF⊥BC，∵GF⊥平面PBC，∴EF是GE在平面PBC內的射影，于是GE⊥BC．取FB的中點N，連GN，∵G是△PAB的重心，設PG交AB于Q，于是，∴GN∥QB．∵QB⊥PQ，于是NG⊥PQ，NE∥PC，PC⊥平面PAB，∴NE⊥平面PAB，NG是GE在平面PAB內的射影，∴GE⊥PQ．因此，GE是PG和BC的公垂線．