Question

甲、乙、丙三名教師指導五名學生a、b、c、d、e參加全國高中數學聯賽，每位老師至少指導一名學生，教師甲資歷最老，只指導其中的一名學生．
（I）求教師甲指導學生a的概率；
（II）求教師乙至少指導兩名學生的概率；
（III）設教師丙指導學生的人數為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件是從5名學生中選1個，共有C₅¹種結果，而滿足條件的事件只有一種，根據古教師丙指導學生的人數為ξ典概型概率公式得到結果．
（II）教師乙至少指導兩名學生的對立事件是教師乙只指導一名學生，做出教師乙只指導一名學生的概率，利用對立事件的概率公式得到結果．
（III）教師丙指導學生的人數為ξ，根據每位老師至少指導一名學生，教師甲資歷最老，只指導其中的一名學生，得到變量的可能取值，寫出分布列，求出期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，本題是一個古典概型，
∵試驗發生包含的事件是從5名學生中選1個，共有C₅¹種結果，
而滿足條件的事件只有一種，
設教師甲指導學生a為事件A，
∴P（A）=

1

C 1 5

=

1

5

（Ⅱ）設教師乙只指導一名學生為事件B，
則教師乙至少指導兩名學生為事件B的對立事件

B

，
∵P（B）=

A 2 5

C 1 5 ( C 1 4 + 1 2 C 2 4 ) A 2 2

=

2

7

∴P（

B

）=1-P（B）=

5

7

（Ⅲ）教師丙指導學生的人數為ξ，由題意知知ξ=1，2，3，
P（ξ=1）=

C 1 5 C 1 2

C 1 5 ( C 1 4 + 1 2 C 2 4 ) A 2 2

=

2

7

；

P（ξ=2）=

C 1 5 C 2 4

C 1 5 ( C 1 2 + 1 2 C 2 4 ) A 2 2

=

3

7

P（ξ=3）=

C 1 5 C 3 4

C 1 6 ( C 1 4 + 1 2 C 2 4 ) A 2 2

=

2

7

∴ξ的分布列為

∴E_ξ=

1×2

7

+

2×3

7

+

3×2

7

=2．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望問題，考查古典概型，考查對立事件的概率，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，是可以得滿分的一道題目．