Question

某學(xué)校高一年級(jí)開(kāi)設(shè)了A，B，C，D，E五門(mén)選修課．為了培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛(ài)好，要求每個(gè)學(xué)生必須參加且只能選修一門(mén)課程．假設(shè)某班甲、乙、丙三名學(xué)生對(duì)這五門(mén)課程的選擇是等可能的．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三名學(xué)生參加五門(mén)選修課的所有選法種數(shù)；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩名學(xué)生選修同一門(mén)課程的概率；
（Ⅲ）設(shè)隨機(jī)變量X為甲、乙、丙這三名學(xué)生參加A課程的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）每個(gè)學(xué)生選修一門(mén)課程，有5種選法，由分步乘法原理即可求解．
（Ⅱ）“甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩名學(xué)生選修同一門(mén)課程”的對(duì)立事件為“三名學(xué)生選擇三門(mén)不同選修課程”，利用對(duì)立事件的概率關(guān)系求解．
（Ⅲ）X的所有可能取值為：0，1，2，3，利用古典概型分別求概率，列出分布列求期望即可．

解答：解：（Ⅰ）甲、乙、丙三名學(xué)生每人選擇五門(mén)選修課的方法數(shù)是5種，
故共有5×5×5=125（種）．
（Ⅱ）三名學(xué)生選擇三門(mén)不同選修課程的概率為：

A 3 5

53

=

12

25

．
∴三名學(xué)生中至少有兩人選修同一門(mén)課程的概率為：1-

12

25

=

13

25

．
（Ⅲ）由題意：X=0，1，2，3
.P(X=0)=

43

53

=

64

125

；
P(X=1)=

C 1 3 •42

53

=

48

125

；
P(X=2)=

C 2 3 •4

53

=

12

125

；
P(X=3)=

C 3 3

53

=

1

125

．
ξ的分布列為

數(shù)學(xué)期望EX=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

125

+3×

1

125

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查計(jì)數(shù)原理、古典概型、及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，難度不大．