Question

已知a≥,函數(shù)f(x)=-a²x²+ax+c.

(1)證明：對任意x∈［0,1］,f(x)≤1的充要條件是c≤;

(2)已知關于x的實系數(shù)二次方程f(x)=0有兩個實數(shù)根α、β，證明：|α|≤1且|β|≤1的充要條件是c≤a²-a.

Answer 1

分析：本題屬于三個“二次”的問題，這類問題在解題時，首先要充分利用相應的二次函數(shù)的性質，特別是圖象特征與單調性，由此可得解法.

解：(1)f(x)=-a²(x-)²+c+,∵a≥,∴0＜≤1,即∈(0,1]，

    當x∈［0,1］時，f(x)_max=f()=c+.

    充分性：∵c≤,

∴x∈［0,1］時,f(x)≤c+≤1,

∴f(x)≤1(x∈［0,1］).

    必要性：∵x∈［0,1］時，f(x)≤1,而∈(0,1),

∴f()=c+≤1,∴c≤.

(2)二次函數(shù)f(x)的圖象開口向下，對稱軸方程為x=,因為a≥,故∈(0,1)［-1,1］,

∴f(x)=0的兩根α、β在［-1，1］內

c≤a²-a,

∴|α|≤1且|β|≤1的充要條件是c≤a²-a.