Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn= n2+ n（n∈N*），數列{bn}是首項為4的正項等比數列，且2b2 ， b3﹣3，b2+2成等差數列． （Ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）令cn=anbn（n∈N*），求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵數列{an}的前n項和Sn滿足Sn= n2+ n（n∈N*）， ∴a1=S1= =5，
當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（ ）﹣[ ]
=3n+2，
當n=1時，上式成立，
∴數列{an}的通項公式為an=3n+2．
∵數列{bn}是首項為4的正項等比數列，且2b2 ， b3﹣3，b2+2成等差數列，
∴ ，解得q=2．
∴數列{bn}的通項公式bn=4×2n﹣1=2n+1 ．
（Ⅱ）∵cn=anbn=（3n+2）2n+1=（6n+4）2n ，
∴數列{cn}的前n項和：
Tn=10×2+16×22+22×23+…+（6n+4）×2n ， ①
2Tn=10×22+16×23+22×23+…+（6n+4）×2n+1 ， ②
①﹣②，得：
﹣Tn=20+6（22+23+…+2n）﹣（6n+4）×2n+1
=20+6× ﹣（6n+4）×2n+1
=﹣4﹣（6n﹣2）×2n+1 ，
∴Tn=（6n﹣2）×2n+1+4．
【解析】（Ⅰ）由數列{an}的前n項和Sn滿足Sn= n2+ n（n∈N*），得到a1=S1=5，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=3n+2，由此能求出數列{an}的通項公式；由數列{bn}是首項為4的正項等比數列，且2b2 ， b3﹣3，b2+2成等差數列，利用等比數列通項公式、等差數列性質列出方程，求出公比，由此能求出數列{bn}的通項公式．（Ⅱ）由cn=anbn=（3n+2）2n+1=（6n+4）2n ， 利用錯位相減法能求出數列{cn}的前n項和．