Question

已知數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的
，與兩數(shù)中至少有一個屬于。
（Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（Ⅱ）證明：，且；
（Ⅲ）證明：當(dāng)時，成等比數(shù)列。

Answer 1

（Ⅰ）由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P；由于都屬于數(shù)集，∴該數(shù)集具有性質(zhì)P。
（Ⅱ）證明見解析。
（Ⅲ）證明見解析。

本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分
分類討論等數(shù)學(xué)思想方法。本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題。
（Ⅰ）由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P；由于都屬于數(shù)集，∴該數(shù)集具有性質(zhì)P。
（Ⅱ）∵具有性質(zhì)P，∴與中至少有一個屬于A，
由于，∴，故。
從而，∴。
∵， ∴，故。
由A具有性質(zhì)P可知。
又∵，
∴，
從而，
∴。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時，有，即，
∵，∴，∴，
由A具有性質(zhì)P可知。
由，得，且，∴，
∴，即是首項為1，公比為成等比數(shù)列。