Question

是否存在常數a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）對于一切正整數n都成立？并證明你的結論．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：先假設存在符合題意的常數a，b，c，再令n=1，n=2，n=3構造三個方程求出a，b，c，再用用數學歸納法證明成立，證明時先證：（1）當n=1時成立．（2）再假設n=k（k≥1）時，成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），再遞推到n=k+1時，成立即可．

證明：假設存在符合題意的常數a，b，c，

在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2

=（an2+bn+c）中，

令n=1，得4=（a+b+c）①

令n=2，得22=（4a+2b+c）②

令n=3，得70=9a+3b+c③

由①②③解得a=3，b=11，c=10，

于是，對于n=1，2，3都有

1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．

下面用數學歸納法證明：對于一切正整數n，（*）式都成立．

（1）當n=1時，由上述知，（*）成立．

（2）假設n=k（k≥1）時，（*）成立，

即1•22+2•32+…+k（k+1）2

=（3k2+11k+10），

那么當n=k+1時，

1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2

=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2

=（3k2+5k+12k+24）

=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，

由此可知，當n=k+1時，（*）式也成立．

綜上所述，當a=3，b=11，c=10時題設的等式對于一切正整數n都成立．