Question

如圖，在平面直角坐標系中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．
（Ⅰ）如果A，B兩點的縱坐標分別為

4

5

，

12

13

，求cosα和sinβ
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求cos（β-α）的值；
（Ⅲ）已知點C(-1，

3

)，求函數f(β)=

OB

•

OC

的單調區間．

Answer 1

分析：（1）由題意可得A，B兩點的坐標，由任意角的三角函數的定義可得cosα和sinβ的值．
（2）由以上還可得到 sinα=

4

5

，cosβ=-

5

13

，由兩角和差的余弦公式可得cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα，
運算求得結果．
（3）由兩個向量的數量積的定義，利用兩角和差的余弦公式求得函數f（β）=2sin（β-

π

6

），由
2kπ-

π

2

≤β-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，以及β為鈍角，求出β的范圍，可得函數的增區間．
同理，由 2kπ+

π

2

≤β-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，以及β為鈍角，求出β的范圍，可得函數f（β）的增減區間．

解答：解：（1）由題意可得A的坐標為（

3

5

，

4

5

），B的坐標為（-

5

13

，

12

13

），由任意角的三角函數的定義可得，
cosα=

3

5

，sinβ=

12

13

．
（2）由以上還可得到 sinα=

4

5

，cosβ=-

5

13

，由兩角和差的余弦公式可得
cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=-

5

13

×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．
（3）f(β)=

OB

•

OC

=（cosβ，sinβ）•(-1，

3

)=-cosβ+

3

sinβ=2sin（β-

π

6

）．
由 2kπ-

π

2

≤β-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 2kπ-

π

3

≤β≤2kπ+

2π

3

，k∈z．
再由β為鈍角可得

π

2

＜β≤

2π

3

，故函數f（β）的增區間為（

π

2

，

2π

3

]．
同理，由 2kπ+

π

2

≤β-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 2kπ+

2π

3

≤β≤2kπ+

5π

3

，k∈z，
再由β為鈍角可得 

2π

3

≤β＜π，故函數f（β）的減區間[

2π

3

，π)．

點評：本題主要考查任意角的三角函數的定義，兩角和差的余弦公式，兩個向量的數量積的定義，屬于中檔題．