Question

（2013•廣州一模）甲，乙，丙三位學(xué)生獨立地解同一道題，甲做對的概率為

1

2

，乙，丙做對的概率分別為m，n（m＞n），且三位學(xué)生是否做對相互獨立．記ξ為這三位學(xué)生中做對該題的人數(shù)，其分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 4	a	b	1 24

（1）求至少有一位學(xué)生做對該題的概率；
（2）求m，n的值；
（3）求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）利用“至少有一位學(xué)生做對該題”事件的對立事件的概率即可得出；
（2）利用P（ξ=0）與P（ξ=3）的概率即可得出m，n；
（3）利用（2）及a=P(ξ=1)=P(A

.

B

.

C

)+P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)與b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）即可得出a，b．

解答：解：設(shè)“甲做對”為事件A，“乙做對”為事件B，“丙做對”為事件C，
由題意知，P(A)=

1

2

，P(B)=m，P(C)=n．
（1）由于事件“至少有一位學(xué)生做對該題”與事件“ξ=0”是對立的，
所以至少有一位學(xué)生做對該題的概率是1-P(ξ=0)=1-

1

4

=

3

4

．
（2）由題意知P(ξ=0)=P(

.

A

.

B

.

C

)=

1

2

(1-m)(1-n)=

1

4

，
           P(ξ=3)=P(ABC)=

1

2

mn=

1

24

，
整理得  mn=

1

12

，m+n=

7

12

．
由m＞n，解得m=

1

3

，n=

1

4

．
（3）由題意知a=P(ξ=1)=P(A

.

B

.

C

)+P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)=

1

2

(1-m)(1-n)+

1

2

m(1-n)+

1

2

(1-m)n=

11

24

，
b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

1

4

，
∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×

1

4

+1×

11

24

+2×

1

4

+3×

1

24

=

13

12

．

點評：本小題主要考查相互獨立事件的概率、利用對立事件的概率求概率的方法、離散型隨機變量的均值等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理、推理論證、運算求解能力和應(yīng)用意識．