Question

【題目】已知定圓，動圓過點(diǎn)且與圓相切，記圓心的軌跡為.

（I）求軌跡的方程；

（Ⅱ）若與軸不重合的直線過點(diǎn)，且與軌跡交于兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（I）因為點(diǎn)在圓內(nèi)，所以圓內(nèi)切于圓，因為，所以點(diǎn)的軌跡為以和為焦點(diǎn)的橢圓，……3分

且，，，所以，所以軌跡的方程為．……5分

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為．

由得，…………………………6分

設(shè)、，所以，，

根據(jù)題意，假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，

使得為定值．…………8分

則

，

要使上式為定值，即與無關(guān)，則，…………10分

解得，此時，

所以在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，且定值為．……12分

【命題意圖】本題考查圓與圓的位置關(guān)系、軌跡方程、直線和橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)形結(jié)合思想和綜合分析問題、解決問題的能力．