Question

已知圓C₁：x²+y²=1，圓C₂：（x-4）²+y²=4
（1）判斷兩圓位置關系；
（2）若直線l為過點P（3，0）且與圓C₁相切的直線，求直線l的方程；
（3）在x軸上是否存在一定點Q（m，0），使得過Q點且與兩圓都相交的直線被兩圓所截得的弦長始終相等？若存在，求出Q點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于兩圓的圓心距|C₁C₂ |=4，大于兩圓的半徑之和，故兩圓相離．
（2）由題意知，直線的斜率是存在的，由點斜式設出直線l的方程，由圓心C₁ 到直線l的距離等于半徑，解方程求得
斜率k的值，即得直線l的方程．
（3）由題意知與兩圓都相交的直線的斜率是存在的，由點斜式設出直線l的方程，設原點（0，0）和點（4，0）到該直線的距離分別為d₁，d2，由題意可得

1-d12

=

1-d22

，化簡可得（13-8m）k²=3恒成立，即13-8m=0，且3=0，矛盾．
從而得到結論．

解答：解：（1）由于圓C₁：x²+y²=1，圓C₂：（x-4）²+y²=4的圓心C₁ （0，0），C₂（4，0），半徑分別為1和2．
兩圓的圓心距|C₁C₂ |=4，大于兩圓的半徑之和，故兩圓相離．
（2）由題意知，直線的斜率是存在的，設直線l的斜率為k，
則直線l的方程為 y-0=k（x-3），即kx-y-3k=0．
由圓心C₁ 到直線l的距離等于半徑可得 1=

|0-0-3k|

k2+1

，∴k=±

2

4

．
故直線l的方程為

2

4

x-y-

3 2

4

=0，或

2

4

x+y-

3 2

4

=0．
（3）由題意知與兩圓都相交的直線的斜率是存在的，
故可以設其方程為y-0=k（x-m），即kx-y-km=0．設原點（0，0）和點（4，0）到該直線的距離分別為d₁，d2，由題意可得

1-d12

=

1-d22

，
即 d₂²-d₁²=3，∴(

|4k-km|

1+k2

)2-(

|km|

1+k2

)2=3，
即16k²-8k²m=3+3k²，即 （13-8m）k²=3恒成立．
∴13-8m=0，且3=0，矛盾．
故不存在定點Q（m，0），使得過Q點且與兩圓都相交的直線被兩圓所截得的弦長始終相等．

點評：本題主要考查兩圓的位置關系的判定方法，直線和圓相交的性質，函數的恒成立問題，屬于難題．