Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，φ＞0）的最大值為7，最小值為3，周期為8，在區(qū)間[

9

2

，

11

2

]上單調(diào)遞減，且函數(shù)f（x）圖象過點P（5，5）．
（1）求φ的最小值；
（2）求函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程及其對稱中心坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由周期為8，根據(jù)周期公式可得，ω=

2π

T

=

π

4

，由函數(shù)f（x）的最大值是7，最小值是3，A＞0，可得關(guān)于a，b的方程，得a，b．再結(jié)合條件求出φ的最小值；
（2）由（1）得f（x）=2sin（

π

4

x+

7π

4

）+5，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，令

π

4

x+

7π

4

=

π

2

+2kπ及令

π

4

x+

7π

4

=kπ，即可得到函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程及其對稱中心坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵最小正周期為π，由周期公式可得ω=

2π

T

=

π

4

，
∵由函數(shù)f（x）的最大值是7，最小值是3，A＞0，

A+k=7 -A+k=3

∴A=2，k=5，
∴f（x）=2sin（

π

4

x+φ）+5，
又函數(shù)f（x）圖象過點P（5，5）．
2sin（

π

4

×5+φ）+5=5，∴sin（

π

4

×5+φ）=0，
∴

5π

4

+φ=kπ，（k∈Z），
∴φ=kπ-

5π

4

，（k∈Z），
當(dāng)k=2時，φ=

3π

4

，此時f（x）=2sin（

π

4

x+

3π

4

）+5，
由

π

2

+2kπ≤

π

4

x+

3π

4

≤

3π

2

+2kπ，（k∈Z），
得-1+8k≤x≤3+8k，（k∈Z），
不符合在區(qū)間[

9

2

，

11

2

]上單調(diào)遞減，
當(dāng)k=3時，φ=

7π

4

，此時f（x）=2sin（

π

4

x+

7π

4

）+5，
由

π

2

+2kπ≤

π

4

x+

7π

4

≤

3π

2

+2kπ，（k∈Z），
得-5+8k≤x≤-1+8k，（k∈Z），
符合在區(qū)間[

9

2

，

11

2

]上單調(diào)遞減，
∴φ的最小值

7π

4

．
（2）由（1）得f（x）=2sin（

π

4

x+

7π

4

）+5，
令

π

4

x+

7π

4

=

π

2

+2kπ，（k∈Z），得x=4k-5，（k∈Z），
令

π

4

x+

7π

4

=kπ，（k∈Z），得x=4k-7，（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程x=4k-5，（k∈Z），
及其對稱中心坐標(biāo)（4k-7，5），（k∈Z）．

點評：本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定函數(shù)的解析式，考查了正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程及其對稱中心坐標(biāo)，考查了對基礎(chǔ)知識的綜合運用能力．