Question

考察下列一組不等式：2³+5³＞2²•5+2•5²，2⁴+5⁴＞2³•5+2•5³，2⁵+5⁵＞2³•5²+2²•5³，…．將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式可以是

2ⁿ+5ⁿ＞2^n-k5^k+2^k5^n-k，n≥3，1≤k≤n

．

Answer 1

分析：題目中的式子變形得2²⁺¹+5²⁺¹＞2²•5¹+2¹•5²（1）2³⁺¹+5³⁺¹＞2³•5¹+2¹•5³（2）觀察會發現指數滿足的條件，可類比得到2^m+n+5^m+n＞2^m5ⁿ+2ⁿ5^m，使式子近一步推廣得2ⁿ+5ⁿ＞2^n-k5^k+2^k5^n-k，n≥3，1≤k≤n

解答：解：2²⁺¹+5²⁺¹＞2²•5¹+2¹•5²（1）
2³⁺¹+5³⁺¹＞2³•5¹+2¹•5³（2）
觀察（1）（2）（3）式指數會發現規律，
則推廣的不等式可以是：2ⁿ+5ⁿ＞2^n-k5^k+2^k5^n-k，n≥3，1≤k≤n
故答案為：2ⁿ+5ⁿ＞2^n-k5^k+2^k5^n-k，n≥3，1≤k≤n．

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．