Question

已知

a

、

b

是不共線的向量，且

a

=（5cosα，5sinα），

b

=（5cosβ，5sinβ）
（1）求證：

a

+

b

與

a

-

b

垂直．
（2）若|

a

+

b

|=5

3

，求cos（α-β）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩向量的坐標(biāo)表示分別求出兩向量的模，要證明（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

），只需得到兩向量的數(shù)量積為0，故求出兩向量的數(shù)量積，化簡(jiǎn)后將兩向量的模代入即可得到值為0，得證；
（2）把已知的等于兩邊平方，把兩向量的模代入即可求出

a

•

b

的值，然后利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示出

a

•

b

，令其值等于求出的值，即可求出cos（α-β）的值．

解答：解：（1）∵

a

=（5cosα，5sinα），

b

=（5cosβ，5sinβ）
∴|

a

|=|

b

|=5，
又∵（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

a

2-

b

2=|

a

|²-|

b

|²=0，
∴（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）；                   
（2）|

a

+

b

|²=（

a

+

b

）²=

a

²+

b

²+2

a

•

b

=50+2

a

•

b

=75，
∴

a

•

b

=

25

2

又∵

a

•

b

=25cosαcosβ+sinαsinβ=25cos（α-β）=

25

2

∴cos（α-β）=

1

2

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及三角函數(shù)公式是解本題的關(guān)鍵．