Question

（16分）已知函數
（1）求證：函數在上為單調增函數；
（2）設，求的值域；
（3）對于（2）中函數，若關于的方程有三個不同的實數解，求的取值范圍．

Answer 1

（1）見解析；（2）值域為；（3）的取值范圍為。

本試題主要是考查了函數的單調性和最值問題，以及函數與方程的思想的綜合運用

（1）根據已知關系式設出變量，作差，變形定號得到結論。
（2）在第一問的基礎上，可知分析函數的單調性得到值域。
（（3）因為由（2）可知可知其圖像，然后徐結合圖像，
設，則有三個不同的實數解，即為有兩個根，且一個在上，一個在上，然后分析得到m的范圍。
（1），設是上的任意兩個數，且，……2分
則……4分
因為，∴，∴即
所以在上為增函數，                       …………………………6分
（2），
因為，所以，所以，
即  …………………………8分
又因為時，單調遞增，單調遞增，
所以單調遞增，所以值域為    …………………………10分
（3）由（2）可知大致圖象如右圖所示，
設，則有三個不同的實數解，即為有兩個根，且一個在上，一個在上，設     ………12分
①當有一個根為1時，
，，此時另一根為適合題意； ………………13分
②當沒有根為1時，，得，∴
∴的取值范圍為                        …………………………16分