Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，BC=AC=2，AA₁=4，D為棱CC₁上的一動點(diǎn)，M、N分別為△ABD，△A₁B₁D的重心．
（1）求證：MN⊥BC；
（2）若二面角C-AB-D的大小為，求點(diǎn)C₁到平面A₁B₁D的距離；
（3）若點(diǎn)C在△ABD上的射影正好為M，試判斷點(diǎn)C₁在△A₁B₁D的射影是否為N？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立坐標(biāo)系分別寫出兩條直線所在的向量，利用向量的數(shù)量積等于0可得兩個向量垂直，進(jìn)而得到兩條直線相互垂直．
（2）求出兩個平面的法向量，利用向量之間的基本運(yùn)算求出二面角的平面角的余弦值，進(jìn)而得到一個關(guān)于a的等式求出a的數(shù)值，再求出平面的一條斜線所在的向量在法向量上的射影即可得到點(diǎn)到平面的距離．
（3）因為點(diǎn)C在△ABD上的射影正好為M，所以進(jìn)而求出a的數(shù)值，再根據(jù)對稱性得到C₁在平面A₁B₁D的射影正好為N．
解答：解：（1）以C₁為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)C₁D=a（0≤a≤4），依題意有：D（0，0，a），A（2，0，4），B（0，2，4），
C（0，0，4），C₁（0，0，0）
因為M、N分別為△ABD，△A₁B₁D的重心．
所以
∵=0
∴MN⊥BC
（2）因為平面ABC的法向量，設(shè)平面ABD的法向量
則有
令，
設(shè)二面角C-AB-D為θ，則有
因此 
設(shè)平面A₁B₁D的法向量為，
則
設(shè)C₁到平面A₁B₁D的距離為d，則
（3）若點(diǎn)C在平面ABD上的射影正好為M，則
即（舍）
因為D為CC₁的中點(diǎn)，所以根據(jù)對稱性可知C₁在平面A₁B₁D的射影正好為N．
點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系以便利用空間向量解決線面的垂直關(guān)系、平行關(guān)系、空間角、空間建立等問題．