Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面平面，底面為梯

形， ， , .且與均為正三角形, 為的中點，

為重心.

(1)求證： 平面；

(2)求異面直線與的夾角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連接交于，連接，由重心性質推導出，根據線面平行的判定定理可得平面；（2）取線段上一點，使得，可證 即是異面直線與的夾角，由余弦定理可得結果.

試題解析：（1）方法一：連交于,連接.

由梯形， 且，知

又為的中點， 為的重心，∴，在中， ,故// . 又平面, 平面,∴//平面.

方法二：過作交于,過作交于,連接,

為的重心， ,,

又為梯形， ,,

, ∴

又由所作， 得// ， 為平行四邊形.

, 面

(2) 取線段上一點，使得，連,則,

, ,在中

，則異面直線與的夾角的余弦值為.

角函數和等差數綜合起來命題，也正體現了這種命題特點.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、異面直線所成的角、余弦定理，屬于中擋題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.