Question

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學在期末考試中的數學成績．乙組記錄中有一個數字模糊，無法確認，假設這個數字具有隨機性，并在圖中以表示．
 
（Ⅰ）若甲、乙兩個小組的數學平均成績相同，求的值；
（Ⅱ）求乙組平均成績超過甲組平均成績的概率；
（Ⅲ）當時，分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學，記這兩名同學數學成績之差的絕對值為，求隨機變量的分布列和數學期望．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）分布列詳見解析，期望.

解析試題分析：（Ⅰ）根據甲乙平均成績相等列等式，得，可求的值為1；（Ⅱ）因為的取值具有隨機性，故，有10種可能，而乙組平均成績超過甲組平均成績，共有8種可能，故所求事件的概率為；（Ⅲ）從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，所有可能的成績結果有種，分別計算每組兩名同學數學成績之差的絕對值，以確定的取值，并分別求取相應值的概率，寫出分布列并求期望.
試題解析：（Ⅰ）解：依題意，得 ，解得 .
（Ⅱ）解：設“乙組平均成績超過甲組平均成績”為事件，依題意 ，共有10種可能.
由（Ⅰ）可知，當時甲、乙兩個小組的數學平均成績相同，所以當時，乙組平均成績超過甲組平均成績，共有8種可能．所以乙組平均成績超過甲組平均成績的概率．
（Ⅲ）解：當時，分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，所有可能的成績結果有種， 它們是：，，，，，，，，
則這兩名同學成績之差的絕對值的所有取值為.
因此，，，，.
所以隨機變量的分布列為：

	0	1	2	3	4

所以的數學期望．
考點：1、平均數；2、古典概型；3、離散型隨機變量的分布列和期望.