Question

已知在正項數列{a_n}中，a₁=1，前n項的和S_n滿足：．則此數列的通項公式a_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據題目給出的遞推式，取n=n+1時得到另外一個式子，兩式作差后兩邊平方運算，得到，構造數列設，則數列{b_n}為等差數列，寫出等差數列的通項公式，把b_n代入后可求a_n，結合可對求出的a_n進行取舍．
解答：解：∵2①
∴2②
②-①得：2，
所以，
兩邊平方得：，
即
設，則b_n+1-b_n=4，
而．
所以數列{b_n}是首項為2，公差為4的等差數列，b_n=2+4（n-1）=4n-2．
則，即，又a_n＞0＞0，故，
從而，解得：，
而a₁=1，由2（a₁+a₂）=，即，解得a₂=-1±，
取-1＞0，則只有符合．
所以，此數列的通項公式．
故答案為有（n∈N^*）．
點評：本題考查了數列的概念及簡單表示法，考查了利用遞推式求數列的通項公式，在遞推式中替換n=n+1（或n-1）得另外一個遞推式，兩式聯立求解是解答此類問題常用的方法，解答該題的關鍵是兩式作差后兩邊平方，然后構造函數，這也是該題的難點所在，該題是中檔題．