Question

已知在正項數列{a_n}中，S_n表示前n項和且2

Sn

=a_n+1，求a_n．

Answer 1

分析：先根據題設條件求得a₁，進而根據a_n=S_n-S_n-1代入且2

Sn

=a_n+1，整理可求得即

Sn

-

Sn-1

=1進而判斷由定義得{

Sn

}是以1為首項，1為公差的等差數列，根據等差數列通項公式求得

Sn

=n．則a_n可得．

解答：解：由已知2

Sn

=a_n+1，得當n=1時，a₁=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，代入已知有2

Sn

=S_n-S_n-1+1，
即S_n-1=（

Sn

-1）²．又a_n＞0，
故

Sn-1

=

Sn

-1或

Sn-1

=1-

Sn

（舍），
即

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2），
由定義得{

Sn

}是以1為首項，1為公差的等差數列，
∴

Sn

=n．
故a_n=2n-1．

點評：本題主要考查了用數列遞推式求和通項公式的問題．解題的關鍵是找到數列中相鄰兩項或前n項和的相鄰兩項之間的關系．