Question

設橢圓（）的左、右焦點為，右頂點為，上頂點為．已知．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設為橢圓上異于其頂點的一點，以線段為直徑的圓經過點，經過原點的直線與該圓相切，求直線的斜率．

Answer 1

（1）；（2）直線的斜率為或．

解析試題分析：（1）設橢圓的右焦點的坐標為，由已知，可得，結合，可得，從而可求得橢圓的離心率；（2）在（1）的基礎上，可先利用及數量積的坐標運算求出點的坐標，再求出以線段為直徑的圓的方程（圓心坐標和半徑），最后設經過原點的與該圓相切的直線的方程為，由圓心到切線的距離等于半徑，列方程，解方程即可得求得直線的斜率．
（1）設橢圓的右焦點的坐標為．由，可得，又，則，∴橢圓的離心率．
（2）由（1）知，，故橢圓方程為．設．由，，有，．由已知，有，即．又，故有                          ①
又∵點在橢圓上，故         ②
由①和②可得．而點不是橢圓的頂點，故，代入①得，即點的坐標為．設圓的圓心為，則，，進而圓的半徑．設直線的斜率為，依題意，直線的方程為．由與圓相切，可得，即，整理得，解得．∴直線的斜率為或．
考點：1．橢圓的標準方程和幾何性質；2．直線和圓的方程；3．直線和圓的位置關系．