Question

直線AB過拋物線x²=2py（p>0）的焦點F，并與其相交于A、B兩點，Q是線段AB的中點，M是拋物線的準線與y軸的交點，O是坐標原點.

   （Ⅰ）求的取值范圍；

   （Ⅱ）過A、B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點.

        求證：；

   （Ⅲ）若p是不為1的正整數，當，△ABN的面積的取值范圍為［5，20］時，求該拋物線的方程.

Answer 1

（Ⅰ）·的取值范圍是.   

   （Ⅱ）證明見解析

   （Ⅲ）拋物線的方程：x²=4y.    

解析:

（Ⅰ）由條件得M(0，－)，F(0，).設直線AB的方程為

       y=kx+，A(，)，B(，)

       則，，Q().   …………………………2分

       由得.

       ∴由韋達定理得+=2pk，·=－    …………………………3分

       從而有= +=k(+)+p=2pk÷p.

       ∴·的取值范圍是.      …………………………4分

   （Ⅱ）拋物線方程可化為，求導得.

       ∴       =y     .

       ∴切線NA的方程為：y－即.

       切線NB的方程為：  …………………………6分

       由解得∴N()

       從而可知N點Q點的橫坐標相同但縱坐標不同.

       ∴NQ∥OF.即    …………………………7分

       又由（Ⅰ）知+=2pk，·=－p

       ∴N(pk，－).      …………………………8分

       而M(0，－)  ∴

       又. ∴.       …………………………9分

   （Ⅲ）由.又根據(Ⅰ)知

       ∴4p=pk，而p>0，∴k=4，k=±2.   …………………………10分

       由于=(－pk，p)，  

       ∴

       從而.         …………………………11分

       又||=，||=

       ∴.

       而的取值范圍是［5，20］.

       ∴5≤5p²≤20，1≤p²≤4.   …………………………13分

       而p>0，∴1≤p≤2.

       又p是不為1的正整數.

       ∴p=2.

       故拋物線的方程：x²=4y.      …………………………14分