Question

直線AB過拋物線x²=2py(p＞0)的焦點9，并與其相交于A、B兩點，Q是線段AB的中點，M是拋物線的準線與y軸的交點，O是坐標原點.

(1)求證的取值范圍；

(2)過A、B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點，

求證：；

(3)設直線AB與x軸、y軸的兩個交點分別為K和L，當=4p²，△ABN的面積的取值范圍限定為[]時，求動線段KL的軌跡所形成的平面區域的面積.

Answer 1

解：由（1）條件M(0,-),F(0,)，設直線AB的方程為

y=kx+,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)則=2py₁,=2py₂,Q().

由消去y并整理得x²-2pkx-p²=0.

根據韋達定理得x₁+x₂=2pk,x₁x₂=-p².

進而有y₁y₂=,

y₁+y₂=k(x₁+x₂)+p=2pk²+p.

∴=(x₁,y₁+)·(x₂,y₂+)

=x₁x₂+y₁y₂+(y₁+y₂)+

=-p²++(2pk²+p)+

=p²k²≥0.

∴的取值范圍是.

（2）拋物線的方程可化為y=x²,求導得.

從而k_NA=.

∴切線NA的方程為y-(x-x₁),

即y=,

切線NB的方程為y-(x-x₂),即y=.

由

∴N（）,

而x₁+x₂=2pk,x₁x₂=-p²,

∴N(pk,-).

而M(0,-),Q()即(pk,pk²+).

∴=(pk,0),=(0,pk²+p),

又=(0,),∴=0,∥.

（3）由于=4p²,而根據(1)知=p²k²,

∴4p²=p²k²,又p＞0,∴k²=4,k=±2.

由于=(-pk,p),

=(x₂-x₁,y₂-y₁)=(x₂-x₁,)

=(x₂-x₁)(1,)=(x₂-x₁)(1,k),

∴=(-pk,p)·(x₂-x₁)(1,k)

=(x₂-x₁)(-pk+pk)=0.

從而,又=

||=y₁+y₂+p=2pk²+2p=2p(k²+1)=10p.

∴S_ΔABN==.

而S_ΔABN的取值范圍是[5]，

∴.

而p＞0,所以1≤p≤2.

由（1）知直線AB的方程為y=kx+,

即有y=±2x+,1≤p≤2.

所以直線AB在x、y軸上的截距有

當k=-2,p=1時,為;

當k=-2,p=2時,為和1;

當k=2,p=1時，為-;

當k=2,p=2時，為-和1.

從而動線段KL的軌跡所形成的平面區域如圖所示，其面積為S=S

=

=.