Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）當時，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ），對進行分類討論分和兩種情況，畫出相應導函數的草圖，得出結論；

（Ⅱ） 即，則，對則求導，判斷單調性得出最大值點進行求解

（Ⅰ）由題可得，

當時，恒成立，所以函數在上單調遞增；

當時，令得；令，得，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．

綜上，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增．

（Ⅱ）即，即，

令，則．

易得，

令，則，

所以函數在上單調遞減，，

①當時，，則，所以，

所以函數在上單調遞減，所以，滿足；

②當時，，，，，

所以存在，使得，

所以當時，；當時，，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

又，所以，所以不滿足．

綜上可得，故的取值范圍為．