Question

（2013•麗水一模）離心率為e₁的橢圓與離心率為e₂的雙曲線有相同的焦點，且橢圓長軸的端點、短軸的端點、焦點到雙曲線的一條漸近線的距離依次構成等比數列，則

e 2 1 -1

e 2 2 -1

=（　　）

• A．-e₁
• B．-e₂
• C．-

  1

  e1

• D．-

  1

  e2

Answer 1

分析：設橢圓方程為

x2

a12

+

y2

b12

=1，雙曲線方程為

x2

a 2

-

y2

b 2

=1，它們一個公共的焦點為F（c，0）．由點到直線的距離公式，分別算出橢圓長軸端點、短軸端點和焦點到雙曲線漸近線的距離關于a₁、b₁、a、b和c的式子，利用等比關系建立等式，化簡得a²b 12=b²ca₁，由此對

e 2 1 -1

e 2 2 -1

進行化簡可得它的值為-e₁，從而得到本題答案．

解答：解：設橢圓方程為

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0），雙曲線方程為

x2

a 2

-

y2

b 2

=1（a＞0，b＞0）
它們一個公共的焦點為F（c，0）
∵橢圓長軸端點A到雙曲線的漸近線bx-ay=0的距離|AC|=

|ba1|

a2+b2

=

ba1

c

 橢圓短軸軸端點B到雙曲線的漸近線bx-ay=0的距離|BD|=

|ab1|

a2+b2

=

ab 1

c

橢圓焦點F到雙曲線的漸近線bx-ay=0的距離|FG|=

|bc|

a2+b2

=b
∴(

ab 1

c

)2=

ba1

c

•b，可得a²b 12=b²ca₁
因此，

e 2 1 -1

e 2 2 -1

=

( c a1 )2-1

( c a )2-1

=

c2-a12 a12

c2-a2 a2

=-

b12

a12

•

a2

b2

=-

b2ca1

a12b2

=-

c

a1

=-e₁
故選：A

點評：本題給出共焦點的橢圓與雙曲線，在已知點到直線的距離成等比數列情況下化簡關于離心率的分式的值，著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．