Question

（2011•臨沂二模）下面四個命題：
①函數y=

1

x

在（2，

1

2

）處的切線與直線2x-y+1=0垂直；
②已知a=∫

π 0

（sint+cost）dt，則（x-

1

ax

）⁶展開式中的常數項為-

5

2

，
③在邊長為1的正方形ABCD內（包括邊界）有一點M，則△AMB的面積大于或等于

1

4

的概率為

3

4

④在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得K²=13，079，則其兩個變量有關系的可能性是99.9%．

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

其中所有正確的命題序號是

②④

．

Answer 1

分析：①錯，先用導數的幾何意義，求出該點處切線的斜率，就可求出垂線的斜率，進而求出垂線的方程與給的不符；
②對，先用積分的知識求出a的值，然后再用二項式定理可求出常數項；
③錯，點M向AB作垂線先表達出△AMB的面積，然后面積積大于或等于

1

4

，得出高應滿足的條件，知道點M所在的區(qū)域，就可算出概率；
④對，根據給出的表格，通過進行值得比較就可得出變量的相關關系．

解答：解：①錯，∵f′(x)=-

1

x2

∴函數在（2，

1

2

）處切線的斜率k=-

1

22

= -

1

4

    那么與切線垂直的直線的斜率為4，與所給的直線斜率不符合
    ②對，a=∫₀^π（sint+cost）dt=（-cost+sint）|₀^π=2
∴(x-

1

ax

)6=(x-

1

2x

)6，通項Tr+1=

C

r 6

x6-r(-

1

2x

)r=Tr+1=

C

6 r

x6-2r(-

1

2

)r
    又因為是常數項，所以6-2r=0，即r=3
    常數項T4=

C

3 6

(-

1

2

)3=-

5

2

  ③錯，如圖由點M向AB作垂線，垂足為N，S△ABM=

1

2

×|AB|×|MN|=

1

2

|MN|≥

1

4

，即|MN|≥

1

2

，所以M點位于正方形的上半區(qū)域，故概率為

1

2

；
 
 ④對，∵K²=13，079＞10.828，∴有兩個變量有關系的可能性是99.9%

點評：本題主要考查了導數的幾何意義、積分、二項式定理、幾何概型和獨立性檢驗的有關知識．整體來說本題綜合性比較強，所以難度中等．