Question

（2011•臨沂二模）設x，y滿足約束條件

4x-y≥0 x≤1 y≥0

，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為8，則ab的最大值為

4

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是線性規劃，處理的思路為：根據已知的約束條件

4x-y≥0 x≤1 y≥0

，畫出滿足約束條件的可行域，再根據目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為8，求出a，b的關系式，再利用基本不等式求出ab的最大值．

解答：解：滿足約束條件

4x-y≥0 x≤1 y≥0

的區域是一個三角形，如圖
3個頂點是（0，0），（1，0），（ 1，4），
由圖易得目標函數在（1，4）取最大值8，
即a+4b=8
∴a+4b=8≥2 

4ab

，在a=4，b=1時是等號成立，
∴ab≤4．
∴ab的最大值為4．
故答案為4．

點評：用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解．