Question

【題目】已知函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（x）=x2+x．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)g（x）任一點(diǎn)P（x0 ， y0），則其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P'（﹣x0 ， ﹣y0）在f（x）圖象上， 則﹣y0=（﹣x0）2+（﹣x0），即y0=﹣x02+x0 ，
∴g（x）=﹣x2+x．
（Ⅱ）h（x）=﹣x2+x﹣λ（x2+x）+1=（﹣1﹣λ）x2+（1﹣λ）x+1；
即h（x）=（﹣1﹣λ）x2+（1﹣λ）x+1；
② 若λ=﹣1，h（x）=2x+1，滿足在[﹣1，1]上是增函數(shù)；
②若λ≠﹣1，h（x）是二次函數(shù)，對(duì)稱軸為x= ；
（ⅰ）當(dāng)λ＜﹣1時(shí)， ≤﹣1，解得﹣3≤λ＜﹣1，
（ⅱ）當(dāng)λ＞﹣1時(shí)， ≥1，解得=1＜λ≤﹣ ．
綜上，﹣3≤λ≤﹣
【解析】（Ⅰ）設(shè)g（x）任一點(diǎn)P（x0 ， y0），則其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P'（﹣x0 ， ﹣y0）在f（x）圖象上，故有﹣y0=（﹣x0）2+（﹣x0），即y0=﹣x02+x0 ， 從而得到函數(shù)g（x）的解析式．（Ⅱ）h（x）=（﹣1﹣λ）x2+（1﹣1λ）x+1，λ=﹣1時(shí)，h（x）=2x+1，在[﹣1，1]上是增函數(shù)；λ≠﹣1時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得λ的范圍，合并λ=﹣1即得λ的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能得出正確答案．