Question

已知橢圓：（）的右焦點(diǎn)為，且橢圓過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、，以線段為底邊作等腰三角形，其中頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，求△的面積．

Answer 1

（1） ；（2）．

試題分析：(1)要確定橢圓方程，要確定兩個(gè)參數(shù)的值，因此需要兩個(gè)條件，題中有焦點(diǎn)為，
即，又橢圓過(guò)點(diǎn)，代入方程又得到一個(gè)關(guān)于的等式，聯(lián)立可解得；(2) 直線和圓錐曲線相交問(wèn)題，一般都是設(shè)出直線方程，本題直線的方程可設(shè)為，代入橢圓方程得到關(guān)于的一元二次方程，再設(shè)交點(diǎn)為，則可得，，而條件等腰三角形的應(yīng)用方法是底邊邊上的中線就是此邊上的高，即取中點(diǎn)為，則．由此可求得從而得到坐標(biāo)，最終求得的面積．
試題解析：（1）由已知得，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以   （2分）
解得                                （5分）
所以，橢圓的方程為．            （6分）
（2）設(shè)直線的方程為，              （1分）
由得 ① （2分）
因?yàn)橹本�與橢圓交于不同兩點(diǎn)、，所以△，
所以．            （3分）
設(shè)，，則，是方程①的兩根，所以，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，， （4分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044050801396.png" style="vertical-align:middle;" />是等腰三角形的底邊，所以，向量是直線的一個(gè)法向量，
所以∥向量，即∥向量，
所以，解得．    （5分）
此時(shí)方程①變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044051924616.png" style="vertical-align:middle;" />，解得，，所以．
又到直線：的距離， （7分）
所以△的面積．   （8分）