Question

已知定義在R上的可導函數y=f（x）的導函數為f′（x），滿足f′（x）＜f（x）且y=f（x+1）為偶函數，f（2）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為

（0，+∞）

．

Answer 1

分析：首先構造函數g(x)=

f(x)

ex

，研究g（x）的單調性，結合原函數的性質和函數值，即可求解

解答：解：∵y=f（x+1）為偶函數
∴y=f（x+1）的圖象關于x=0對稱
∴y=f（x）的圖象關于x=1對稱
∴f（2）=f（0）
又∵f（2）=1
∴f（0）=1
設g(x)=

f(x)

ex

（x∈R），則g′(x)= 

f′(x)ex-f(x)ex

(ex)2

=

f′(x)-f(x)

ex

又∵f′（x）＜f（x）
∴f^′（x）-f（x）＜0
∴g^′（x）＜0
∴y=g（x）單調遞減
∵f（x）＜e^x
∴

f(x)

ex

＜1
即g（x）＜1
又∵g(0)=

f(0)

e0

=1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故答案為：（0，+∞）

點評：本題首先須結合已知條件構造函數，然后考察用導數判斷函數的單調性，再由函數的單調性和函數值的大小關系，判斷自變量的大小關系，屬較難題