Question

已知定義在R上的可導函數f（x）的導函數為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），且f（x+2）為偶函數，f（4）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為

 

．

Answer 1

分析：令g(x)=

f(x)

ex

，利用導數和已知即可得出其單調性．再利用函數的奇偶性和已知可得g（0）=1，即可得出．

解答：解：令g(x)=

f(x)

ex

，
則g′(x)=

f′(x)ex-f(x)ex

(ex)2

=

f′(x)-f(x)

e2

，
∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0．
∴g（x）在R上單調遞減．
∵函數f（x+2）是偶函數，
∴函數f（-x+2）=f（x+2），
∴函數關于x=2對稱，
∴f（0）=f（4）=1，
原不等式等價為g（x）＜1，
∵g（0）=

f(0)

e0

=1．
∴g（x）＜1?g（x）＜g（0），
∵g（x）在R上單調遞減，
∴x＞0．
∴不等式f（x）＜e^x的解集為（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、利用函數的單調性解不等式、函數的奇偶性及對稱性，屬于難題．