Question

設平面向量

a

=（1，1），

b

=（sinx，

cos2x- 3 4

），則

a

•

b

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,兩角和與差的正弦函數,正弦函數的定義域和值域

專題：平面向量及應用

分析：由數量積的坐標運算可得

a

•

b

=sinx+

cos2x- 3 4

=sinx+

1 4 -sin2x

．要使

1 4 -sin2x

有意義，必需

1

4

-sin2x≥0，可得-

1

2

≤sinx≤

1

2

．令sinx=t∈[-

1

2

，

1

2

]，
f（t）=

a

•

b

=t+

1 4 -t2

．利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：

a

•

b

=sinx+

cos2x- 3 4

=sinx+

1 4 -sin2x

，
要使

1 4 -sin2x

有意義，必需

1

4

-sin2x≥0，化為sin2x≤

1

4

，∴-

1

2

≤sinx≤

1

2

．
令sinx=t∈[-

1

2

，

1

2

]．
則f（t）=

a

•

b

=t+

1 4 -t2

．
f′(t)=1-

t

1 4 -t2

=

1-4t2 -2t

1-4t2

，
令f′（t）=0，解得t=

2

4

．
當-

1

2

≤t＜

2

4

時，f′（t）＞0，函數f（t）單調遞增；當

2

4

＜t≤

1

2

時，f′（t）≤0，函數f（t）單調遞減．
∴當t=

2

4

時，f（t）取得最大值，且f(

2

4

)=

2

4

+

1 4 -( 2 4 )2

=

2

2

．
又f(-

1

2

)=-

1

2

，f(

1

2

)=

1

2

，∴f（t）的最小值為-

1

2

．
∴f（t）即

a

•

b

的取值范圍是[-

1

2

，

2

2

]．
故答案為：[-

1

2

，

2

2

]．

點評：本題綜合考查了數量積運算、三角函數的基本關系式、三角函數的性質、利用導數研究函數的單調性極值與最值等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力、換元法，屬于難題．