Question

【題目】如圖，四棱錐中，，底面是梯形，AB∥CD，，AB=PD=4，CD=2，，M為CD的中點，N為PB上一點，且.

（1）若MN∥平面PAD；

（2）若直線AN與平面PBC所成角的正弦值為，求異面直線AD與直線CN所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】（1）當時，在PA上取點E，使得，連接EN，DE，

，

EN∥AB，且，

M為CD的中點，CD=2，

，

又AB∥CD，EN∥DM，EN=DM，

四邊形DMNE是平行四邊形，

MN∥DE，

又 平面PAD，MN平面PAD，

MN∥平面PAD．

（2）如圖所示，過點D作DHAB于H，則DHCD．以D為坐標原點建立空間直角坐標系Dxyz．

則D（0，0，0），M（0，1，0），C（0，2，0），B（2，2，0），A（2，2，0），P（0，0，4），

∴，

．

該平面BC的法向量為，則由，得，令z=1，得．

該直線AN與平面PBC所成的角為，則

，解得

∴，

設直線AD與直線CN所成的角為，

則．

所以直線AD與直線CN所成角的余弦值為．