Question

【題目】已知函數，．

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）設，試討論函數的單調性；

（3）當時，若存在正實數滿足，求證：．

Answer 1

【答案】(1).

(2)見解析.

(3)證明見解析.

【解析】

(1)先求導,再令即得a的值，再驗證.(2)先求導得，再對a分類討論得函數的單調性.(3)先化簡已知得到，再令，，求得

的最小值為1，解不等式即得．

（1）解：因為，所以，

因為在處取得極值，

所以，解得．

驗證：當時，，

易得在處取得極大值．

（2）解：因為，

所以．

①若，則當時，，所以函數在上單調遞增；

當時，，函數在上單調遞減．

②若，，

當時，易得函數在和上單調遞增，

在上單調遞減；

當時，恒成立，所以函數在上單調遞增；

當時，易得函數在和上單調遞增，

在上單調遞減．

（3）證明：當時，，

因為，

所以，

即，

所以．

令，，

則，

當時，，所以函數在上單調遞減；

當時，，所以函數在上單調遞增．

所以函數在時，取得最小值，最小值為．

所以，

即，所以或．

因為為正實數，所以．

當時，，此時不存在滿足條件，

所以．