Question

【題目】如圖所示，橢圓E的中心為坐標原點，焦點在軸上，且在拋物線的準線上，點是橢圓E上的一個動點， 面積的最大值為.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）過焦點作兩條平行直線分別交橢圓E于四個點.

①試判斷四邊形能否是菱形，并說明理由；

②求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）(i) 不能為菱形；（ii）當時， 取最大值6.

【解析】試題分析：（Ⅰ）待定系數法，利用焦點在已知拋物線的準線上，可得值，再由點在短軸頂點時面積的最大，可得，由關系得，可求得標準方程；（Ⅱ）易判斷函數不可能平行于軸，為計算方便可令方程為，與橢圓方程聯立消去，利用根與系數的關系，得兩點縱坐標間的關系，①四邊形為菱形，對角線互相垂直，則，轉化為關于的方程，無線，可證四邊形不是菱形．②同樣利用坐標和面積公式，用表示出四邊形的面積．再利用函數的性質可得面積的最大值．

試題解析：

（Ⅰ）設橢圓方程為

焦點在拋物線的準線上，

當點在短軸頂點時面積最大，此時

橢圓方程為

（Ⅱ）(i)由（I）知（-1，0）

直線不能平行于軸，所以設直線的方程為

設

由 得

連結，若為菱形，則，即

又

顯然方程無解，

所以不能為菱形.

（ii）易知四邊形為平行四邊形，則，

而

又因為，

設，則

在上是增函數，

所以，當時， 取最大值6，此時即