Question

已知經營甲、乙兩種商品所獲的利潤（分別用P，Q萬元表示）與投入資金x（萬元）的關系有經驗公式：P=

1

5

x，Q=

3

5

x

，某公司3萬元資金準備投入經營這兩種商品，問對這兩種商品的資金投入分別為多少時，才能獲得最大利潤？最大利潤為多少？

Answer 1

分析：設對甲商品投入x萬元（0≤x≤3）所獲總利潤為y萬元，根據總利潤為兩種商品所獲的利潤和建立等式，然后利用換元法轉化成二次函數研究最值即可．

解答：解：設對甲商品投入x萬元（0≤x≤3）所獲總利潤為y萬元．
則y=P+Q=

1

5

x+

3

5

3-x

（0≤x≤3）
令t=

3-x

則0≤t≤

3

∴y=-

1

5

(t-

3

2

)2+

21

20

≤

21

20

∴當t=

3

2

即x=

3

4

時ymax=

21

20

當對甲投入0.75萬元乙投入2.25萬元時所獲利潤最大為1.05萬元．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及換元法的應用和利用二次函數的性質求最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．