Question

（2012•安徽）設△ABC的內角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=2，c=1，D為BC的中點，求AD的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），從而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；
（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=

π

3

，可求a的值，進而可求B=

π

2

，利用D為BC的中點，可求AD的長．

解答：解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC
∴2sinBcosA=sin（A+C）
∵A+C=π-B
∴sin（A+C）=sinB＞0
∴2sinBcosA=sinB
∴cosA=

1

2

∵A∈（0，π）
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=

π

3

∴a²=b²+c²-2bccosA=3
∴b²=a²+c²
∴B=

π

2

∵D為BC的中點，
∴AD=

12+( 3 2 )2

=

7

2

．

點評：本題考查余弦定理的運用，考查三角函數知識，解題的關鍵是確定三角形中的邊與角．