Question

在平面直角坐標系中，在y軸的正半軸（原點除外）上給定兩點A（0，a）、B（0，b）（a＞b＞0）．試在x軸的正半軸（原點除外）上求點C，使∠ACB取得最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

分析：先由題意作圖，設C（x，0），進而根據A，B坐標表示出直線AC和BC的斜率，進而根據正切的兩角和公式求得tan∠ACB的表達式，根據均值不等式求得最大值時x的值．

解答：解：由題意作下圖，設C（x，0），其中x＞0．
又A（0，a），B（0，b）（a＞b＞0），
則k_AC=

a-0

0-x

=-

a

x

，
k_BC=

b-0

0-x

=-

b

x

．
∴tan∠ACB=

kBC-kAC

1+kBC•kAC

=

a x - b x

1+ ab x2

=

a-b

ab [ x ab + ab x ]

≤

a-b

2 ab

．此時x=

ab

時取等號．
故所求點C（

ab

，0），最大值為arctan

a-b

2 ab

．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．在解決最值問題時，要注意拼湊出均值不等式的形式，進而求得最值．