Question

已知△ABC的三個內角A、B、C所對邊分別是a、b、c，給出下列命題：
①長分別為sinA、sinB、sinC的三條線段可以構成三角形；
②長分別為a²、b²、c²的三條線段可以構成三角形；
③長分別為

1

a

、

1

b

、

1

c

的三條線段可以構成三角形；
④長分別為

a

、

b

、

c

的三條線段可以構成三角形；
其中正確命題的序號

①④

．

Answer 1

分析：判斷三邊能否構成三角形，只需判斷兩個較小的邊的和是否大于最大邊，本題中對于命題①④可用此結論證明其正確性，對于命題②③，可用舉反例的方法證明其錯誤即可

解答：解：∵由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，以及三角形中任兩邊之和大于第三邊，可得sinA，sinB，sinC三數中任兩數之和大于第三個數，∴長分別為sinA、sinB、sinC的三條線段可以構成三角形，∴①正確．
∵若△ABC為鈍角三角形，不妨設角C為鈍角，則，c²＞a²+b²，長分別為a²、b²、c²的三條線段就構不成三角形，
∴②錯誤．
若a=5，b=4，c=2則∵

1

a

+

1

b

=

9

20

＜

10

20

=

1

c

，∴長分別為

1

a

、

1

b

、

1

c

的三條線段不一定能構成三角形，③錯誤
設a＜b＜c，則a+b＞c，且

a

＜

b

＜

c

，∵（

a

+

b

）²=a+b+2

ab

＞（

c

）²，∴長分別為

a

、

b

、

c

的三條線段可以構成三角形，故④正確
故答案為①④

點評：本題考察了命題真假的判斷方法，判斷一個命題為真必須嚴格證明，判斷一個命題為假只需舉反例即可，還考察了三角形的性質