Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n，且an=

1

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(3n+Sn)對一切正整數n恒成立．
（1）證明數列{a_n+3}為等比數列；
（2）數列{a_n}是否存在三項構成等差數列？若存在，求出一組；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把所給的等式整理，想要求的結論靠近，因此需要把s_n變為a_n，仿寫一個等式，兩式相減，得到只含a_n的等式，因為要證數列{a_n+3}為等比數列，所以湊成這個數列的相鄰兩項的比值形式．
（2）假設存在，寫出三項，又知三項成等差數列，用等差中項驗證，推出矛盾，得到結論不存在三項構成等差數列．

解答：解：（1）∵且an=

1

2

(3n+Sn)對一切正整數n恒成立，
即2a_n=3n+S_n…①對一切正整數n恒成立．
∴2a_n+1=3（n+1）+s_n+1…②
②-①得：2a_n+1-2a_n=3+s_n+1-s_n，
∴3a_n+1-2a_n=3
∴a_n+1+3=2（a_n+3）
又a₁+3=6＞0，所以a₂+3=2（a₁+3）＞0，由此類推an+3＞0
所以

an+1+3

an+3

=2
所以數列{a_n+3}是以a₁+3=6為首項，以2為公比的等比數列．
（2）解：假設數列{a_n}中存在這樣的三項滿足其條件，且這三項分別為數列{a_n}的第x，y，z項．
由（1）知數列{a_n+3}是以a₁+3=6為首項，以2為公比的等比數列．
∴a_n+3=6×2^n-1，
∴a_n=3×2ⁿ-3
又第x，y，z項構成等差數列，
∴2（3×2^y-3）=3×2^x-3+3×2^z-3
∴2^y+1=2^x+2^z
∴2^y+1-x=1+2^z-x
又x、y、z都是整數，
等式左邊是偶數，右邊是奇數，
∴這樣的x、y、z是不存在的．
即數列{an}中不存在有三項，使它們可以構成等差數列．

點評：數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎，所以在高考中占有重要的地位．高考對它的考查比較全面，等差數列，等比數列的考查每年都不會遺漏．