Question

【題目】已知函數，其中．

（1）當時，求的最小值；

（2）設函數恰有兩個零點，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ； (2)

【解析】

（1）當時，利用指數函數和二次函數的圖象與性質，得到函數的單調性，即可求得函數的最小值；

（2）分段討論討論函數在相應的區間內的根的個數，函數在時，至多有一個零點，函數在時，可能僅有一個零點，可能有兩個零點，分別求出的取值范圍，可得解．

（1）當時，函數，

當時，，由指數函數的性質，可得函數在上為增函數，且；

當時，，由二次函數的性質，可得函數在上為減函數，在上為增函數，

又由函數， 當時，函數取得最小值為；

故當時，最小值為．

（2）因為函數恰有兩個零點，所以

（ⅰ）當時，函數有一個零點，令得，

因為時，，所以時，函數有一個零點，設零點為且，

此時需函數在時也恰有一個零點，

令，即，得，令，

設，，

因為，所以，，，

當時，，所以，即，所以在上單調遞增；

當時，，所以，即，所以在上單調遞減；

而當時，，又時，，所以要使在時恰有一個零點，則需，

要使函數恰有兩個零點，且，設在時的零點為，

則需，而當時，，

所以當時，函數恰有兩個零點，并且滿足；

（ⅱ）若當時，函數沒有零點，函數在恰有兩個零點 ，且滿足，也符合題意，

而由（ⅰ）可得，要使當時，函數沒有零點，則 ，

要使函數在恰有兩個零點 ，則，但不能滿足，

所以沒有的范圍滿足當時，函數沒有零點，

函數在恰有兩個零點 ，且滿足，

綜上可得：實數的取值范圍為．

故得解.