Question

（2008•虹口區二模）當x＞2時，使不等式x+

1

x-2

≥a恒成立的實數a的取值范圍是

（-∞，4]

．

Answer 1

分析：根據x＞2，得到x-2＞0，利用基本不等式可得（x-2）+

1

x-2

≥2

(x-2)• 1 x-2

=2，再結合原不等式恒成立，可得到左邊的最小值4大于或等于a，由此可得實數a的取值范圍是a≤4．

解答：解：∵x＞2
∴x-2＞0
∴x+

1

x-2

=（x-2）+

1

x-2

+2≥2

(x-2)• 1 x-2

+2=4
而不等式x+

1

x-2

≥a恒成立
∴（x+

1

x-2

）_min≥a
∴a的取值范圍是（-∞，4]
故答案為（-∞，4]

點評：本題以分式不等式為例，考查了函數恒成立的知識，屬于中檔題．注意解法中配湊，然后用基本不等式的技巧，這是此類問題的常見處理方法．