Question

已知二面角α-l-β的大小為45°，m，n為異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成角的大小為（　　）

A．135°

B．90°

C．60°

D．45°

Answer 1

分析：在直線m上取點P，過P作PA⊥β于A，結合n⊥β可得PA∥n，直線PA與m所成的銳角或直角就是m，n所成角．設m⊥α于B，經過點P、A、B的平面交二面角α-l-β的棱l于C，連接AC、BC．利用直線與平面垂直的判定與性質，可得∠ACB即為二面角α-l-β的平面角，即∠ACB=45°，最后用四邊形內角和定理，得到∠APB=180°-∠ACB=135°，PA與m所成的銳角是45°，因此m，n所成角的大小為45°．

解答：解：在直線m上取點P，過P作PA⊥β于A，設m⊥α于B
作出經過點P、A、B的平面，該平面交二面角α-l-β的棱l于C
連接AC、BC
∵PA⊥β，n⊥β
∴PA∥n，直線PA與m所成的銳角或直角就是m，n所成角
∵PA⊥β，l⊆β
∴l⊥PA
同理l⊥PB
∵PA∩PB=P
∴l⊥平面PAB
∵AC、BC?平面PAB
∴l⊥AC，l⊥BC
∠ACB即為二面角α-l-β的平面角，∠ACB=45°
∵四邊形PACB中，∠PAC=∠PBC=90°
∴∠APB=180°-∠ACB=135°
∴PA與m所成的銳角為180°-135°=45°
所以異面直線m，n所成角等于45°
故選D

點評：本題著重考查了異面直線所成角、二面角的平面角的作法和直線與平面垂直的判定與性質等知識點，屬于中檔題．運用垂面法作二面角的平面角，是解決本題的關鍵．