Question

（2013•房山區一模）已知函數f（x）的定義域是D，若對于任意x₁，x₂∈D，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂），則稱函數f（x）在D上為非減函數．設函數f（x）在[0，1]上為非減函數，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；  ②f（

x

5

）=

1

2

f（x）；  ③f（1-x）=1-f（x）．則f（

4

5

）=

1

2

，f（

1

2013

）=

1

32

．

Answer 1

分析：令x=1，由條件求得f（1）=1，f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

，再由 f（

1

5

）+f（

4

5

）=1，由此求得f（

4

5

）的值．
利用條件求得f（

1

3125

）=

1

32

，再令x=

4

5

，由條件求得 f（

4

3125

）=

1

32

，再由

1

3125

＜

1

2013

＜

4

3125

，可得 f（

1

3125

）≤f（

1

2013

）≤f（

4

3125

），即

1

32

≤f（

1

2013

）
≤

1

32

，由此求得 f（

1

2013

）的值．

解答：解：∵函數f（x）在[0，1]上為非減函數，且①f（0）=0；③f（1-x）+f（x）=1，令x=1可得f（1）=1．
又∵②f(

x

5

)=

1

2

f(x)，令x=1，可得 f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

．
再由③可得f（

1

5

）+f（

4

5

）=1，故有f（

4

5

）=

1

2

．
對于②f(

x

5

)=

1

2

f(x)，令x=1可得 f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

；
由此可得 f（

1

25

）=

1

2

f（

1

5

）=

1

4

、f（

1

125

）=

1

2

f（

1

25

）=

1

8

、f（

1

625

）=

1

2

f（125）=

1

16

、f（

1

3125

）=

1

2

 f（

1

625

）=

1

32

．
令x=

4

5

，由f（

4

5

）=

1

2

及②f(

x

5

)=

1

2

f(x)，可得 f（

4

25

）=

1

4

，f（

1

125

）=

1

8

，f（

4

625

）=

1

16

，f（

4

3125

）=

1

32

．
再由

1

3125

＜

1

2013

＜

4

3125

，可得 f（

1

3125

）≤f（

1

2013

）≤f（

4

3125

），即

1

32

≤f（

1

2013

）≤

1

32

，故 f（

1

2013

）=

1

32

，
故答案為

1

2

；

1

32

．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，以及對新定義的理解，同時考查了計算能力和轉化的思想，屬于中檔題．