Question

已知條件p：|x-1|＞a（a≥0）和條件q：lg（x²-3x+3）＞0，
（1）求滿足條件p，q的不等式的解集．
（2）分別利用所給的兩個條件作為A，B構造命題：“若A，則B”，問是否存在非負實數a使得構造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題，若存在，求出a的取值范圍．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別利用絕對值不等式及對數不等式的解法，求解滿足條件p，q的不等式的解集即可；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在非負實數a符合題意，再必有p⇒q成立，反之不然，求出a的取值范圍，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）由條件p得：|x-1|＞a，
∴x＜1-a或x＞1+a．
∴滿足條件p的解集A={x|x＜1-a或x＞1+a}…（3分）
由條件q得：x²-3x+3＞1即x²-3x+2＞0，
∴x＜1或x＞2，∴滿足條件q的解集B={x|x＜1或x＞2}…（6分）
（2）存在．假設存在非負實數a符合題意，則必有p⇒q成立，反之不然．
∴A?B，則1-a≤1，且1+a≥2即a≥1．
∴存在非負實數a符合題意，此時a的取值范圍是[1，+∞）…（12分）

點評：本題考查不等式的解法，必要條件、充分條件與充要條件的判斷，考查計算能力，轉化思想，是中檔題．