Question

【題目】已知函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)存在3個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：存在，使得．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，可得有兩個(gè)不同正根，只需函數(shù)，即可求解；

（2）令，求得的單調(diào)性，且，，根據(jù)存在3個(gè)不同的零點(diǎn)，得到及的表達(dá)式，令，求得，得到存在使得，又由，得出，

進(jìn)而得到，

法一：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解；

法二：因?yàn)?/span>，得到有兩根，若是方程的兩根，對(duì)任意的有，由拉格朗日中值定理即可求解.

（1）因?yàn)楹瘮?shù)不單調(diào)，

所以有兩個(gè)不同正根，

即得，

此時(shí)，，，所以．

（2）令的兩根為，且，

則在上遞增，上遞減，上遞增，

且，，，

因?yàn)?/span>存在3個(gè)不同的零點(diǎn)，且時(shí)，，時(shí)，，

所以，

同理，

令，則，得，

所以在上遞增，上遞減，

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，

所以存在使得，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以，

法一：令，

，，所以有兩個(gè)根，

設(shè)為且，則在上單調(diào)遞減．

若，則，

即，即；

若同理可證，

所以對(duì)于任意的，不等式成立；

即存在，使得成立．

法二：因?yàn)?/span>，

所以有兩根，

若是方程的兩根，不妨令，則對(duì)任意的有

由拉格朗日中值定理知存在，使得

所以存在，使得．