Question

【題目】如圖，在四棱錐ABCD﹣PGFE中，底面ABCD是直角梯形，側棱垂直于底面，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA=1．
（Ⅰ）求PD與BC所成角的大小；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角A﹣PC﹣D的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取的AB中點H，連接DH，易證BH∥CD，且BH=CD
所以四邊形BHDC為平行四邊形，所以BC∥DH
所以∠PDH為PD與BC所成角
因為四邊形，ABCD為直角梯形，且∠ABC=45°，所以⊥DA⊥AB
又因為AB=2DC=2，所以AD=1，因為Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都為等腰直角三角形，
所以PD=DH=PH=，故∠PDH=60°
（Ⅰ）連接CH，則四邊形ADCH為矩形，∴AH=DC 又AB=2，∴BH=1
在Rt△BHC中，∠ABC=45°，∴CH=BH=1，CB=∴AD=CH=1，AC=
∴AC2+BC2=AB2∴BC⊥AC 又PA平面ABCD∴PA⊥BC
∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC.
（Ⅲ）如圖，分別以AD、AB、AP為x軸，y軸，z軸
建立空間直角坐標系，則由題設可知：
A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（1，0，0），
∴=（0，0，1），=（1，1，﹣1
設m=（a，b，c）為平面PAC的一個法向量，則，即
設a=1，則b=﹣1，∴m=（1，﹣1，0）
同理設n=（x，y，z） 為平面PCD的一個法向量，求得n=（1，1，1）
∴cos<m,n>=
所以二面角A﹣PC﹣D為60°

【解析】（1）取的AB中點H，易證∠PDH為PD與BC所成角，解三角形可得；
（2）由已知結合線面垂直的判定可得：
（3）坐標法求得平面的法向量，由向量的夾角可得二面角的大小．
【考點精析】關于本題考查的異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的判定，需要了解異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能得出正確答案．